Золотое сечение: альбом-раскраска венесуэльского архитектора Рафаэля Араухо
Рафаэль Араухо (1957 года рождения) — венесуэльский архитектор и художник-иллюстратор, постоянно проживающий в Каракасе. Уже более 40 лет он рисует картины, представляющие собой синтез искусства и науки.
Рисует исключительно от руки, не пользуясь компьютерными технологиями. За старомодным чертёжным столом Араухо тщательно воспроизводит математическое совершенство, воплощённое в окружающем нас мире.
Все инструменты художника: карандаш, циркуль, линейка и транспортир.
В марте-апреле 2016 года на краудфандинговой платформе Кикстартер проходит кампания по сбору средств на выпуск альбома лучших работ Рафаэля в виде книги-раскраски для взрослых.
- Тип проекта: печатное издание — альбом-раскраска.
- Название проекта: Golden Ratio Coloring Book / Золотое сечение: раскраска.
- Заявитель: Rafael Araujo / Рафаэль Араухо.
- Краудфандинговая платформа: Kickstarter / Кикстартер.
- Запрошенная сумма: 27 000 австралийских долларов.
- Продолжительность кампании по сбору средств: 23 марта — 28 апреля 2016 года (36 дней).
- Начало доставки готового продукта: июнь 2016 года.
- Страница проекта на краудфандинговой платформе: kickstarter.com/projects/1854671654/golden-ratio-coloring-book.
- Сайт проекта/заявителя: rafaelaraujoart.com.
В юношестве Рафаэль впервые узнал о золотом сечении — пропорции, обозначаемой греческой буквой ϕ и равной 1,618, которую можно найти в природе буквально везде — от раковины моллюска Наутилус помпилиус до формы крыльев бабочки.Расположение листьев на стеблях также носит строгий математический характер, это явление называется в ботанике «филлотаксисом». Суть филлотаксиса состоит в винтовом расположении листьев на стебле растений (ветвей на деревьях, лепестков в соцветьях и т.д.). Филлотаксис описывается последовательностью чисел Фибоначчи, тесно связанными с золотым сечением:
«Наблюдения показывают, что зерна или чешуйки у еловой шишки или ананаса образуют некоторое квазирегулярное покрытие поверхности, в котором соседние ячейки организуются в хорошо различимые спирали, называемые парастихами. Если отдельная ячейка по форме является шестиугольной (как у ананаса), то она принадлежит трем типам парастихов.
Если же ячейка ромбическая (как у шишек или подсолнуха), то имеется два типа парастихов, соответствующих вращению либо по часовой стрелке, либо против). В большинстве случаев у растений числа парастихов каждого типа являются последовательными числами Фибоначчи, а их отношение — подходящей дробью для золотого сечения» (Amicus Plato).
Рафаэль Араухо рисует природные объекты, вписанные в геометрические пропорции золотого сечения, оставляя линии построения нетронутыми, чтобы подчеркнуть их естественную математическую структуру. Неудивительно, что создание одной композиции занимает у него порядка 100 часов.
Рафаэль Араухо. Последовательность бабочек Морфо
Рафаэль Араухо. Раковина моллюска Наутилус помпилиус
Наибольшее влияние на архитектора оказали работы нидерландского художника-графика Маурица Эшера, исследовавшего в своих литографиях психологическое восприятие проекций сложных трёхмерных объектов на плоскости. «Когда я впервые увидел гравюры Эшера, то буквально онемел, — рассказывает Араухо. — Его работы очень близки моим представлениям о геометрии».
Рафаэль Араухо. Бесконечная последовательность бабочек
Рафаэль Араухо. Раковина и последовательность Фибоначчи
Источник: http://tehne.com/node/5950
(no title)
zelda_lМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ М.К.ЭШЕРАЯ думаю, многие знают об Эшере и видели его работы.Но для незнающих даю одну из наиболее знаменитых его работ:—«День и ночь».Ниже приведено подробное описание его работ с точки зрения мозаик. Это оказалось настолько интересно, что я решила сделать пост.
Предупреждаю заранее: если у вас нет времени, то лучше не читать текст. Он очень интересен, но требует работы ума. Можно и просто посмотреть фото. Но их очень много. А.
Чебелев 2007Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.(М.К.
Эшер, автопортрет)Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность.
Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.
В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.МОЗАИКИ
(Эскиз из Альгамбры)
Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» – это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик – регулярными и нерегулярными (прим. перев.
нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) – а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании.
Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения».
Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.
Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.
) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.
(Регулярное разбиение плоскости птицами)
(Цикл)(Рептилии)
(Эволюция)
В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В «Эволюции» можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.МНОГОГРАННИКИ
(Четыре тела)
Правильные геометрические тела – многогранники – имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона.
Это – тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями.
На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
(Порядок и хаос)
Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос».
В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции – это окно, которое отражается левой верхней части сферы.
(Звезды)Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра «Звезды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней.
Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.
ФОРМА ПРОСТРАНСТВА(Три пересекающиеся плоскости)Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография «Три пересекающиеся плоскости» – хороший пример для начала обзора таких картин.
Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.
(Предел круга)
Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе «Предел круга III». Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре.
Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине.
Таким образом путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком простарнстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством.
Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь.
Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников. Странное место, не правда ли?
(Змеи)
(Лист мебиуса II)Еще более странное пространство показано в работе «Змеи». Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны – и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация – это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии «Лента Мебиуса II», то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?
(Картинная галерея)
Другая интересная литография назавается «Картинная галерея», в которой изменены одновременно и топология и логика пространства.
Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине – картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город … стоп! Что-то не так…Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины – белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой, где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф. ЛОГИКА ПРОСТРАНСТВА
(Куб с полосками)
Под «логикой» пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.
(Сверху и снизу)Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства – игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах.
На литографии «Куб с полосками» выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.Еще один из аспектов логики пространства – перспектива.
На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.
Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине «Cверху и cнизу» художник разместил сразу пять точек исчезновения – по углам картины и в центре.
В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.
(Водопад)
Третий тип картин с нарушенной логикой пространства – это «невозможные фигуры». Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии.
Наиболее интересная работа – литография «Водопад» – основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру.
Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.
) САМОВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ И ИНФОРМАЦИЯРассмотрим аспекты творчества Эшера, относящиеся к теории информации и искусственному интеллекту. Эта область творчества художника широко освещена во многих статьях и книгах. Наиболее полное исследование этого вопроса освещено в книге Дугласа Хофстадтера (Douglas R.
Hofstadter) «Гёдель, Эшер, Бах: Бесконечная золотая нить» (Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid), выпущенной в 1980 году и награжденной пулитцеровской премией.
(Рыбы и чешуйки)
Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер.
Литографии «Рисующие руки» и «Рыбы и чешуйки» используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы.
В работе «Рыбы и чешуйки» концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека.
Конечно, мы не состоит из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.
(Три сферы)
Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера.
Мы рассмотрим лишь один пример – литографию «Три сферы», на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы.
Хофстадтер в своей книге написал «… каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира…». СПИРАЛИ
(Спирали)
(Водовороты)
В работе «Спирали» мы видим четыре закручивающиеся в спираль полоски, которые постоянно сближаются и постепенно закручиваются сами в себя, образуя своеобразный тор. Пройдя целый круг, спираль заходит внутрь самой себя, образуя тем самым, как бы, спираль второго порядка – спираль в спирали.
В работе «Водовороты» Эшер объединил спиралевидную форму и свой излюбленный художественный прием – регулярное разбиение плоскости (или мозаику). Здесь рыбы,выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружась в него, постепенно уменьшаются в размерах и наконец совсем исчезают.
Обратите внимание на постепенно уменьшающуюся в размерах мозаику. Если мысленно развернуть спираль, то мы увидим лишь два ряда рыб, плывущих навстречу друг другу.
Но скрученные в спираль и соответствующим образом деформированные образы рыб полностью покрывают некоторую область бесконечной плоскости
(Сферические спирали)
Иной способ представления спирали использован в работе «Сферические спирали», где четыре полосы расположены на поверхности шара, проходя от одного полюса шара к другому. Похожий путь может пройти самолет, летящий с северного полюса земного шара на южный.Здесь мы привели основные виды спиралей, использованных Эшером в своих работах.
Различные их модификации можно обнаружить и на многих других литографиях художника.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы рассмотрели лишь небольшую часть работ из сотен набросков и литографий и гравюр, оставшихся после смерти Эшера в 1972 году. Еще многое будет сказано и уже сказано о значении и важности его работ.
С каждым годом появляется все больше и больше книг, где освещается творчество художника, анализируются различные аспекты его творчества.
Источник: https://zelda-l.livejournal.com/82001.html
Мауриц Корнелис Эшер
Мауриц Корнелис Эшер (в разных источниках – Морис Корнелиус Эшер) – нидерландский художник. Мауриц Корнелис Эшер родился 17 июня 1898 года в Леувардене (Нидерланды).
Мауриц Корнелис Эшер «Автопортрет»
Имя его, возможно, не каждый запомнит сразу, но произведения его забыть невозможно.
Его картины и графические работы полны уникального очарования, они буквально завораживают.
Мауриц Корнелис Эшер «Четырехгранный астероид»
Уникальность работ Эшера состоит в том, как он использовал в них математические идеи, не обладая при этом ни математическим образованием, ни специальными знаниями.
Мауриц Корнелис Эшер «Змеи»
Источником вдохновения Эшера были математические статьи, посвященные мозаичному разбиению плоскости, неевклидовой геометрии и проецированию на плоскости трехмерных фигур.
Мауриц Корнелис Эшер «Сферическая спираль»
Геометрические и математические парадоксы, например лента Мёбиуса, поражали и очаровывали его.
Мауриц Корнелис Эшер «Рисующие руки». Литография. 1948 г.
По его мнению, математики лишь открыли дверь в другой мир, полный загадок, но войти в неё не решились. Он же решился.
Мауриц Корнелис Эшер «Портрет мужчины»
Семейная легенда утверждает, что весьма набожная тетя художника, впервые увидев его рисунок, вздрогнула и перекрестилась. Отец, ничего не сказав, просто отошел.
Мауриц Корнелис Эшер «Циклический предел»
Среди работ Эшера есть и выполненные в реалистической манере. Например, эта.
Мауриц Корнелис Эшер «Белый кот»
Многие элементы его геометрически выверенных композиций тоже вполне реалистичны.
Мауриц Корнелис Эшер «Рептилии»
Но сами композиции, построенные по принципам бесконечности и симметрии, вызывают чувство нереальности, какого-то мистицизма.
Мауриц Корнелис Эшер «Судьба»
Мауриц Корнелис Эшер «Три элемента»
Мауриц Корнелис Эшер «Глубина». Ксилография
Особенно парадоксально выглядят работы Эшера, основанные на специфике психологического и визуального восприятия человеком сложных трехмерных сооружений.
Мауриц Корнелис Эшер «Относительность» 1953 г.
Мауриц Корнелис Эшер «Выпуклые и вогнутые»
Мауриц Корнелис Эшер «Восхождение и спуск»
Мауриц Корнелис Эшер «Водопад». Литография. 1961 г.
Мауриц Корнелис Эшер «Цикл»
В любом случае, внимательно рассматривать работы художника всегда интересно и увлекательно. При этом не перестаешь удивляться четкости и математической точности его построений. Скончался Мауриц Корнелис Эшер 27 марта 1972 года. В честь него был назван астероид, открытый в 1985 году.
Похожее
Источник: http://aquarells.ru/zarubezhnyie-xudozhniki/mauric-kornelis-esher
Загадочный мир Эшера Проект группы искусствоведов. — презентация
1 Загадочный мир Эшера Проект группы искусствоведов<\p>
2 Морис Корнелиус Эшер (Maurits Cornelis Escher) Голландский художник, родился в 1898 году в Леевардене (Голландия). Автопортрет<\p>
3 Эшер — автор уникальных работ, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. Автопортрет<\p>
4 Многогранники Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой или встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.<\p>
5 Порядок и хаос Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции — это окно, которое отражается в левой верхней части сферы.<\p>
6 Звезды На гравюре «Звезды» можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.<\p>
7 Рептилии В гравюре «Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры.<\p>
8 Четырёхугольная планета Эта малая планета, населенная людьми, имеет форму правильного четырехгранника и окружена сферической атмосферой. Видны 2 из 4 грани тетраэдра; ребро делит изображение надвое. Все вертикальные линии: стены домов, деревья и люди – направлены к центру тяжести, а все горизонтальные поверхности: сады, улицы, крыши, вода прудов и каналов – составляют часть сферической оболочки.<\p>
9 Двойной планетоид Двойной планетоид по форме является звёздчатым октаэдром (stella octangula Кеплера – восьмиугольная звезда). Два тетраэдра органично вписаны друг в друга. Один является творением людей, второй – творением природы: горы, деревья и кустарники.<\p>
10 Плоские черви Строительный кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда, и это логично, потому что такие кирпичи соединять друг с другом проще всего. Но любой человек, любящий и понимающий красоту правильных тел, может пожалеть, что строители не используют другие формы. Например, тетраэдры, перемежающиеся с октаэдрами, могут складываться один с другим не хуже традиционных кирпичей. Вот дом, построенный из комбинаций этих двух форм. Он не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных поверхностей, ни полов, ни стен, ни потолка в обычном понимании этих слов. Вот почему он весь внутри заполнен какой-то жидкой средой, в которой плавают существа, напоминающие плоских червей планарий.<\p>
11 Мозаики Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными — а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.<\p>
12 В 1936 году Эшер начал эксперименты с мозаиками и трансформациями. Он создает мозаику в виде двух птиц, летящих навстречу друг другу, которая легла в основу картины «День и ночь».<\p>
13 В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней. В 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал: Бабочки<\p>
14 Цикл Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрия, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.<\p>
15 Оживающие орнаменты Эшера дают полное представление о замысле художника: орнамент (кристаллическая решетка) постепенно нарушает свою строгую упорядоченность, превращаясь в живые существа. В отличие от реального физического процесса, в котором нарушение порядка увеличивает молекулярный хаос, у Эшера старый неодушевленный порядок переходит в новый, одушевленный.<\p>
16 На картине «Метаморфозы-2» представлена последовательность 10 трансформаций. Это самая большая картина Эшера размерами 19 см на 3.9 м. Метаморфозы-2<\p>
17 Эволюция 1 Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В «Эволюции 1» можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.<\p>
18 Встреча На серой поверхности стены развивается сложная структура белых и черных человеческих фигурок. И поскольку людям необходим хотя бы пол, по которому они могли бы ходить, для них изображен пол, с круглым отверстием посередине, через которое видна значительная часть той же стены. Человечки вынуждены не только ходить по кругу, но и встречаться: на переднем плане оптимист и черный пессимист пожимают друг другу руки.<\p>
19 Восемь голов В 1937 году Эшер показывает своему брату Биру картину-мозаику, над которой он в тот момент работал. Бир, профессор геологии, был впечатлен работой и увидел в ней возможности применения идей Эшера в кристаллографии.<\p>
20 В 1959 году Эшер встречается с профессором МакГиллаври, после этого художник выступает на международном конгрессе кристаллографии в Англии на тему симметрии. Также в 1959 году он получил копию статьи Лайонела и Роджера Пенроузов о невозможных фигурах. В статье упоминались некоторые ранние работы Эшера, но также было и кое- что новое. В начале 60-х годов вышла в свет первая книга с работами Эшера Grafiek en Tekeningen, в которой 76 работ прокомментировал сам автор. Книга помогла обрести понимание среди математиков и кристаллографов, включая некоторых из России и Канады. В августе 1960 Эшер прочитал лекцию по кристаллографии в Кембридже.<\p>
21 Математические и кристаллографические аспекты творчества Эшера становятся очень популярными. В 1965 году профессор Каролина МакГиллаври опубликовала книгу «Аспекты симметрии в творчестве М. К. Эшера». Предел круга 4<\p>
22 Предел — квадрат В середине 50-х годов Эшер объединяет мозаику с фигурами, уходящими в бесконечность. До 1958 года Морис Эшер изображает объекты, уменьшающиеся по мере приближения к центру картины, а после 1958 года он изображает фигуры, уменьшающиеся по мере удаления от центра картины. Причем смена направления связана с изучением Эшером статьи профессора Коксетера из Оттавы, который проиллюстрировал систему образцов, уменьшающихся по мере удаления от центра. Интерпретация эффекта Коксетера наблюдается как минимум в шести работах Мориса Эшера.<\p>
23 Предел круга III Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе «Предел круга III». Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине.<\p>
24 Змеи Еще более странное пространство показано в работе «Змеи». Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны — и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?<\p>
25 Водовороты В работе «Водовороты» Эшер объединил спиралевидную форму и свой излюбленный художественный прием — регулярное разбиение плоскости (или мозаику). Здесь рыбы, выплыв из одного водоворота, попадают во второй и, погружаясь в него, постепенно уменьшаются в размерах и наконец совсем исчезают. Обратите внимание на постепенно уменьшающуюся в размерах мозаику. Если мысленно развернуть спираль, то мы увидим лишь два ряда рыб, плывущих навстречу друг другу. Но скрученные в спираль и соответствующим образом деформированные образы рыб полностью покрывают некоторую область бесконечной плоскости.<\p>
26 Форма пространства Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография «Три пересекающиеся плоскости» — хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Копия работы М.К. Эшера «Три пересекающиеся плоскости»<\p>
27 Копия работы М.К. Эшера «Две пересекающиеся плоскости»<\p>
28 Лебеди<\p>
29 Копия работы М.К. Эшера «Кубическое деление пространства»<\p>
30 Концентрические сферы Четыре полые концентрические сферы освещены центральным источником света. Каждая сфера состоит из сетки, образованной девятью большими пересекающимися кольцами; они членят сферическую поверхность на 48 подобных сферических треугольников.<\p>
31 Дракон Как бы этот дракон ни стремился перейти в другое измерение, он остается абсолютно плоским. Прорежьте в двух местах лист бумаги, где он оттиснут. Затем согните лист так, чтобы получилось два квадратных отверстия. Но дракон – чудовище упрямое: несмотря на свою двухмерность, он всеми силами старается доказать, что существует в трех измерениях; поэтому в одно четырехугольное отверстие он просовывает голову, а в другое – хвост.<\p>
32 Рыбы и чешуйки В работе «Рыбы и чешуйки» концепция самовоспроизведения может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоим из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.<\p>
33 Рисующие руки Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы.<\p>
34 Логика пространства Под «логикой» пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.<\p>
35 Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства — игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии «Куб с полосками» выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине. Куб с полосками<\p>
36 Вверху и внизу Еще один из аспектов логики пространства — перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине «Вверху и внизу» художник разместил сразу пять точек исчезновения — по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз.<\p>
37 Другой мир II<\p>
38 Вавилонская башня.<\p>
39 Водопад Третий тип картин с нарушенной логикой пространства — это «невозможные фигуры». Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Литография «Водопад» — основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии.<\p>
40 Относительность Три силы тяжести направлены перпендикулярно одна другой. Три земные поверхности прорезают друг друга под прямым углом, и каждая населена человеческими существами. Обитатели двух разных миров не могут ходить, сидеть или стоять на одном и том же полу, поскольку у них разные представления о горизонтали и вертикали. Однако они могут пользоваться одной и той же лестницей. Мы видим как наверху два человека идут рядом по лестничным ступенькам будто бы в одном направлении, – тем не менее один движется вверх, а другой – вниз. Контакт между ними невозможен, так как они живут в разных мирах и не подозревают о существовании друг друга.<\p>
41 Дом лестниц<\p>
42 Восхождение и спуск Бесконечные лестницы, представляющие главный мотив этой картины, навеяны статьей Л.С. и Р. Пенроузов, напечатанной в «Британском журнале психологии» в феврале 1958 года. Прямоугольник внутреннего двора замкнут стенами здания, у которого вместо крыши – бесконечная лестница, по которой поднимаются и спускаются вереница людей. Однако оба направления, хотя и выразительны, но одинаково бесполезны.<\p>
43 Бельведер Слева на переднем плане лежит лист бумаги с чертежом куба. Места пересечения граней отмечены двумя кружками. Какая грань впереди, какая позади? В трехмерном мире невозможно увидеть переднюю и заднюю стороны одновременно, поэтому их невозможно изобразить. На полу нижней площадки, то есть внутри, стоит лестница, на которую взбираются двое. Однако, достигнув верхней площадки, они снова окажутся снаружи, под открытыми небом, и снова им придется входить внутрь бельведера.<\p>
44 Человек с кубом Его мы видели на гравюре «Бельведер». Сидящий на скамье человек держит в руках абсурдное подобие куба. Он задумчиво разглядывает этот непостижимый предмет.<\p>
45 Выставка гравюр Вход справа внизу ведет на выставку – в галерею с экспозицией гравюр на стенах и в застекленных витринах. Мы видим юношу, который по крайней мере в четыре раза крупнее человека, стоящего у входа. Даже голова у него увеличена в объеме по сравнению с его правой рукой. На стене перед ним – последний лист графической серии, и он пристально разглядывает пароход, лодки, воду канала и дома на заднем плане. Затем его взгляд переходит слева направо, к многоярусному жилому массиву. Открытое окно, из которого выглядывает женщина, выходит прямо на покатую крышу выставочной галереи, и это возвращает нас к месту, откуда началось путешествие. Юноша воспринимает это как двухмерные детали рассматриваемой литографии. Если его глаза захватят еще больше пространства, ему покажется, что он вошел в мир графического листа.<\p>
46 Капля росы Картины Мориса Эшера сделались в современном научном мире символами, которые используют сами ученые, когда хотят показать необычность, парадоксальность задач и выводов, возникающих при решении этих задач. Особенно часто картины Эшера используют физики и математики. Возможно, это связано с тем, что в своих проблемах они чаще специалистов других областей науки выходят за пределы естественных с точки зрения современной интуиции понятий и тогда возникает интересная аналогия. Оказывается, зрительный мир, который, казалось бы, совершенно приземлен, который ясен и знаком до деталей, может также быть парадоксальным.<\p>
47 Использованные ресурсы: /Gardner/Math_Novels/Ch11/Chep11.htmlhttp:// /Gardner/Math_Novels/Ch11/Chep11.html htmlhttp://absolutgraphic.narod.ru/esher/esher8. html<\p>
Источник: http://www.myshared.ru/slide/315952/
Мауриц Корнелиус Эшер. Иллюстратор математики. 1898 – 1972
«Я всегда блуждаю в загадках. Молодые люди приходят ко мне и говорят: „Вы тоже занимаетесь оп-артом“. Но у меня нет ни малейшего представления об оп-арте. Я просто делаю это уже 30 лет».
За свою жизнь Эшер нарисовал 448 литографий и офортов и более 2000 рисунков.
Для голландцев Эшер в графике – как Ван Гог в живописи – король и Бог. Об этом говорит хотя бы тот факт, что полное собрание его работ находится в бывшем королевском дворце в Гааге.
Помимо графических работ Эшер иллюстрировал книги, создавал дизайн гобеленов, почтовых марок, фресок, оберточной бумаги. Был также у Эшера проект дизайна банктон, однако, не принятый.
Мауриц Эшер родился в Леевардене 1898. Школу Эшер закончить не смог, так как не сдал выпускные экзамены. После, он брал уроки архитектуры в техническом училище Делфта, но из-за плохого здоровья не справился с учебой и был отчислен. в 1919 году всё же поступил в Школу архитектуры и декоративных искусств в Харлеме, которую закончил в 1922 году.
В 1921 году впервые посетил Северную Италию. Природа произвела на него сильное впечатление. В следующем году он посетил Испанию и вновь Италию. Эшер был покорен Италией, несколько месяцев в году обязательно проводил там, путешествуя по городкам. В Италии он познакомился со своей женой Джулией, там же к нему пришло признание.
В Риме в июле 1926 года у них родился первенец, Джордж. На крещении ребёнка присутствовали Виктор Эммануил III и Муссолини. Проданных в Италии работ не хватало для содержании семьи, и большую поддержку Маурицу оказывал его отец.
Семье Эшера в то время принадлежал дворец «Princessehof», хозяйкой которого в XVIII веке была Мария Луиза Гессен-Кассельская, мать статхаудера Вильгельма IV.
Популярность в Нидерландах к нему пришла в 1929 году, опять, при поддержке родителей. В тот год Эшеру удалось провести 5 персональных выставок. В 1932 году голландский музей в Риме выпустил первую книгу о его работах, а главный государственный музей Нидерландов Ряйксмузеум приобрел 26 работ Эшера.
Италию пришлось вскоре покинуть, так как начался фашистский период и в стране стало неспокойно. В 1935 Эшеры переехали в Швейцарию, но итальянские пейзажи волновали художника больше, чем швейцарские.
Поэтому, семья отправилась в путешествие в южную Европу, где Эшер снова посетил испанскую Альгамбру. К концу 1936 года Эшер создаёт свою первую картину невозможной реальности «Натюрморт с улицей».
Через некоторое время Эшеры снова переезжают – сначала в Бельгию, а потом обратно в Нидерланды. В 1949 году он создает иллюстрацию “Рептилии” (моя любимая).
После выставки в Роттердаме, его интервью публикуется в американских журналах Time и Life, и Эшер становится знаменитым на весь мир. В последующее время он приобретает популярность в качестве публичного лектора, также много путешествует. В 1955 его произвели в рыцари.
Эшер скончался 27 марта 1972 года в госпитале в Хилверсуме от рака кишечника в возрасте 73-х лет. За два года до смерти он переехал в специальный дом для престарелых художников. У Эшера было три сына: Джордж (1926), Артур (1928) и Ян (1938). Старший из них, Джордж, регулярно читает лекции о творчестве отца.
Творчество Маурица Эшера
(Если тяжело читать математические термины, пропустите раздел).
“Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам”.
В процессе работы художник брал идеи из математических статей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трёхмерных фигур на плоскость, неевклидовой геометрии, «невозможных фигурах», логике трёхмерного пространства.
Мауриц Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Во время XII Всемирного Математического (!) Конгресса в Амстердаме в 1954 году была открыта выставка работ Эшера.
Математическое описание фракталов было предложено только в 1970-е годы (термин «фрактал» был введён в 1975 году).
То есть Эшер уже иллюстрировал фракталы, а математическое описание этого термина пришло через 20 лет.
Темы работ Эшера:
Пейзажи
С них он начинал, когда вдохновлялся Итальянскими ландшафтами. Самая скучная тема его работ, на мой взгляд, так как представляет собой реалистичные изображения. Однако, работая на пейзажами, Эшер ищет новые подходы в изображении пространства и развивает перспективу для создания оптических иллюзий.
Мост. 1930, литография
Логика пространства
Художник создавал на своих картинах оптические иллюзии, в основном с помощью светотени. Например, на картине «Куб с полосками» невозможно определить, в какую сторону обращены объёмные «пуговицы», расположенные на ленте.
Кроме того, «игрой» с логикой пространства являются картины Эшера, на которых изображены различные «невозможные фигуры»; Эшер изображал их как отдельно, так и в сюжетных литографиях и гравюрах, самой примечательной из которых является, вероятно, литография «Водопад», основанная на невозможном треугольнике (треугольник Пенроуза). Водопад играет роль вечного двигателя, а башни кажутся одинаковой высоты, хотя в каждой из них на этаж меньше, чем в соседней. Две другие гравюры Эшера с невозможными фигурами — «Бельведер» и «Спускаясь и поднимаясь».
“Относительность”. 1953, литография.
“Спускаясь и поднимаясь”. 1960. Литография.
Эти иллюстрации можно найти в интернете в стате “Каннабис, как главная и направляющая сила дизайна”.
Интересное видео, объясняющее принцип невозможности этой лестницы:
Мозаики
В иллюстрациях ниже Эшер объяснил концепцию регулярного разделения плоскости (сегодня это называется паркет, мозаика или замощение, а точнее, равногранная плитка) с рядом изменений.
Математики и ученые, изучающие кристаллографию, классифицировали их в общей сложности в семнадцать различных систем, в соответствии с симметрий. Эшер не был математиком – он обнаружил эти системы сам путем постоянного экспериментирования с новыми вариациями паркета.
Интерес к мозаикам проявился в 1936 во время путешествия в Испании под влиянием геометрических орнаментов Альгамбры. (Надо съездить).
Иными словами, художник искал вдохновение в математических принципах, воплощая их на бумаге. Из его черновиков видно, что рисунку предшествуют математические расчеты и детальное построение. И лишь затем многоугольник приобретает анималистический вид и цвет.
Метаморфозы
В 1939-1940 гг. Эшер работает над новой темой – метаморфозы. Художник подробно исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях.
Кроме того, Эшер неоднократно рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами (птицы превращаются у него в рыб и прочее) и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живые существа.
В рамках этого направления он создал цикл работ – Метаморфозы 1, 2 и 3. Работа “Метаморфозы 2” представляет собой 4-х метровое замкнутое полотно, где начало и конец – единый шаблон. “Рэмбо-3” “Метаморфозы-3” – в печатной версии составляют 11 метров в длину и увековечены в почтовом отделении Гааги. Такая же нарисованная версия составляет 42 метра.
Напомню, что для создания своих иллюстраций Эшер использовал техники ксилографии и литографии – довольно трудоемкий процесс рисования на камне или гравирование по дереву. Так вот для создания “Метаморфоз-3” использовалось 33 печатных доски на 6 листах, соединенных вместе. Частично рисунок “Метаморфоз-3” был раскрашен вручную.
Если вы погуглите, что такое литография и ксилография, вы поймете, что 33 доски – тот еще геморрой.
Видео гигантской работы:
http://www.youtube.com/watch?v=P5ouQzoVuL8
“Небо и вода I”. 1938, гравюра на дереве.
“Рептилии”. 1943, литография.
“Рисующие руки”. 1948, литография.
“Спирали”. 1953, резьба по дереву.
“Связь союза”. 1956, литография.
Powered by WordPress & Highwind.
Back to top
Источник: https://valeriya.in/maurits-escher/
Загрузка...
